Si tenemos
en cuenta las tres isometrías simples (traslación,
giro y simetría axial o
reflexión),
que hemos visto, podemos realizar la composición o producto
de dos
isometrías o movimientos del plano de nueve formas
posibles.Si
descartamos commutatividades, podemos reducir la composición
de
dos isometrías a los casos siguientes:
(1) Composición de dos traslaciones:
La composición o producto de una traslación T1, con vector de traslación u, con una segunda traslación T2, con vector de traslación v, es otra traslación T de vector de traslación la suma(s) de los vectores u + v, es decir es una nueva traslación T, que designamos T2oT1, que transforma todo punto (P) del plano, o figura F, en otro punto del plano P", o F", del siguiente modo T2oT1(P) =T2(P') = P", primero lo transformamos en el punto P', o figura F', mediante una traslación de vector u y después en un nuevo punto P",o figura F", mediante la traslación de vector v obteniendo como producto o composición una traslación de vector la s = u + v .
La
composición de dos traslaciones es una
tranformación conmutativa
ya que si partimos de una figura F
y aplicamos consecutivamente dos traslaciones de vectores respectivos u y v, sin importar el
orden en que lo hacemos obtenemos la misma figura transformada
final
(F"):
(2) Composición de dos giros:
(2a) Composición de dos giros de centro común
(3b) Composición de dos simetrías de ejes concurrentes o secantes
La composición de una simetría de eje e1 con otra de eje e2 que concurren en un punto O es un giro de centro O y amplitud el doble de la amplitud del ángulo que forman los dos ejes del producto y en ese sentido.
(4) Composición de una traslación y un giro:
La composición o producto de una traslación T de vector v y, por, un giro de centro O y amplitud a es otro giro de la misma amplitud a y centro de giro O' el punto de intersección de las mediatrices de los segmentos que unen dos puntos homólogos de las figura incial F y la final F".
(5) Composición de una simetría y una traslación (deslizamiento):
Un deslizamiento es la composición de una simetría de eje e y una traslación de vector v.
(6) Composición de un giro y una simetría:
(6a) Composición de una giro y una simetría cuyo eje pasa por el centro de giro
La composición de un giro de centro O y ángulo a con una simetría de eje e que pasa por O da como producto una simetría cuyo eje pasa por el centro de giro y está girado - a/2 .
(6b) Composición de una giro y una simetría cuyo eje no pasa por el centro de giro
La composición de un giro de centro O y ángulo a con una simetría de eje e que no pasa por el centro de giro da como producto una simetría con deslizamiento cuyo eje está girado - a/2 .
Ahora te toca a ti practicar en esta página para fijar lo aprendido.
(1) Composición de dos traslaciones:
La composición o producto de una traslación T1, con vector de traslación u, con una segunda traslación T2, con vector de traslación v, es otra traslación T de vector de traslación la suma(s) de los vectores u + v, es decir es una nueva traslación T, que designamos T2oT1, que transforma todo punto (P) del plano, o figura F, en otro punto del plano P", o F", del siguiente modo T2oT1(P) =T2(P') = P", primero lo transformamos en el punto P', o figura F', mediante una traslación de vector u y después en un nuevo punto P",o figura F", mediante la traslación de vector v obteniendo como producto o composición una traslación de vector la s = u + v .
(2) Composición de dos giros:
(2a) Composición de dos giros de centro común
La composición de un
giro de ángulo a con otro de
ángulo b y centro común
O, es otro giro de cuya
amplitud es
la suma a + b y el centro el mismo.
(2b) Composición de dos giros de distinto centro
GO,b oGO,a(F)
= GO,b(F'
) = F"
(2b) Composición de dos giros de distinto centro
El producto de dos giros de
distinto centro GO,b y GO',a es otro giro cuya amplitud
es la
suma de los ángulos y el centro de giro el punto donde se
cortan las mediatrices de los segmentos que unen dos puntos
homólogos de la figura incial (F) y la transformada mediante
la composición (F").
(3)
Composición
de dos simetrías:
(3a) Composición de dos simetrías de ejes paralelos
(3a) Composición de dos simetrías de ejes paralelos
La composición de una
simetría de eje e1 con otra de eje e2
paralelo al anterior es una traslación
de vertor 2v
siendo v el
vector
perpendicular que une los dos ejes e1 y e2
en ese sentido.
(3b) Composición de dos simetrías de ejes concurrentes o secantes
La composición de una simetría de eje e1 con otra de eje e2 que concurren en un punto O es un giro de centro O y amplitud el doble de la amplitud del ángulo que forman los dos ejes del producto y en ese sentido.
(4) Composición de una traslación y un giro:
La composición o producto de una traslación T de vector v y, por, un giro de centro O y amplitud a es otro giro de la misma amplitud a y centro de giro O' el punto de intersección de las mediatrices de los segmentos que unen dos puntos homólogos de las figura incial F y la final F".
(5) Composición de una simetría y una traslación (deslizamiento):
Un deslizamiento es la composición de una simetría de eje e y una traslación de vector v.
(6) Composición de un giro y una simetría:
(6a) Composición de una giro y una simetría cuyo eje pasa por el centro de giro
La composición de un giro de centro O y ángulo a con una simetría de eje e que pasa por O da como producto una simetría cuyo eje pasa por el centro de giro y está girado - a/2 .
(6b) Composición de una giro y una simetría cuyo eje no pasa por el centro de giro
La composición de un giro de centro O y ángulo a con una simetría de eje e que no pasa por el centro de giro da como producto una simetría con deslizamiento cuyo eje está girado - a/2 .
Ahora te toca a ti practicar en esta página para fijar lo aprendido.
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