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Composición o producto de isometrías o movimientos en el plano

Si tenemos en cuenta las tres isometrías simples (traslación, giro y simetría axial o reflexión, que hemos visto, podemos realizar la composición o producto de dos isometrías o movimientos del plano de nueve formas posibles. Si descartamos commutatividades, podemos reducir la composición de dos isometrías a los casos siguientes:

(1) Composición de dos traslaciones:

La composición o producto de una traslación T1, con vector de traslación u, con una segunda traslación T2, con vector de traslación v, es otra traslación T de vector de traslación la suma(s) de los vectores u + v, es decir, es una nueva traslación T, que designamos T2oT1, que transforma todo punto (P) del plano, o figura F, en otro punto del plano P", o F", del siguiente modo  T2oT1(P) = T2(P') = P", primero lo transformamos en el punto P', o figura F', mediante una traslación de vector u y después en un nuevo punto P",o figura F", mediante la traslación de vector v obteniendo como producto o composición una traslación de vector la s = u + v.


Composición de dos traslaciones

La composición de dos traslaciones es una tranformación conmutativa ya que si partimos de una figura F y aplicamos consecutivamente dos traslaciones de vectores u y v, sin importar el orden en que lo hacemos, obtenemos la misma figura transformada final (F")

(2) Composición de dos giros:

(2a) Composición de dos giros de centro común

La composición de un giro de ángulo α con otro de ángulo β y centro común O, es otro giro cuya amplitud es la suma α + β y el centro de giro el mismo.

GO,βo GO,α(F) = GO,β(F')=F''

Composición de dos giros de centro común

(2b)Composición de dos giros de distinto centro.

El producto de dos giros de distinto centro GO,β y GO',α es otro giro cuya amplitud es la suma de los ángulos y el centro de giro el punto donde se cortan las mediatrices de los segmentos que unen dos puntos homólogos de la figura incial (F) y la transformada mediante la composición (F")


Composición de dos giros de distinto centro

(3) Composición de dos simetrías:

(3a) Composición de dos simetrías de ejes paralelos

La composición de una simetría de eje e1 con otra de eje e2 paralelo al anterior es una traslación de vector 2v siendo v el vector perpendicular que une los dos ejes e1 y e2 en ese sentido.

Composición de dos simetrías de ejes paralelos

(3b) Composición de dos simetrías de ejes concurrentes o secantes

La composición de una simetría de eje e1 con otra de eje e2 que concurren en un punto O es un giro de centro O y amplitud el doble de la amplitud del ángulo que forman los dos ejes del producto y en ese sentido.

Composición de dos simetrías de ejes concurrentes

(4)Composición de una traslación y un giro:

La composición o producto de una traslación T de vector v y, por, un giro de centro O y amplitud α es otro giro de la misma amplitud α y centro de giro O' el punto de intersección de las mediatrices de los segmentos que unen dos puntos homólogos de las figura incial F y la final F".

Composición de una traslación y un giro

(5) Composición de una simetría y una traslación (deslizamiento):

Un deslizamiento es la composición de una simetría de eje e y una traslación de vector v

Simetría con deslizamiento

(6) Composición de un giro y una simetría:

(6a) Composición de una giro y una simetría cuyo eje pasa por el centro de giro

La composición de un giro de centro O y ángulo α con una simetría de eje que pasa por O da como producto una simetría cuyo eje pasa por el centro de giro y está girado un ángulo de - α/2

Composición de un giro y una simetría cuyo eje pasa por el centro de giro

(6b) Composición de una giro y una simetría cuyo eje no pasa por el centro de giro.

La composición de un giro de centro O y ángulo α con una simetría de eje que no pasa por el centro de giro da como producto una simetría con deslizamiento cuyo eje está girado -α/2.

Composición de un giro y una simetría cuyo eje no pasa por el centro de giro

Ahora te toca a ti practicar en esta página para fijar lo aprendido.