Mediatrices

Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular trazada por su punto medio.

(i) Abre un nuevo archivo de Geogebra y dibuja un segmento AB.

(ii) Activa la herramienta [Punto medio] y señala el punto medio pulsando sobre los extremos del segmento, etiquétalo como M.

(iii)Traza la recta perpendicular que pasa por ese punto medio y tienes la mediatriz (m) del segmento AB.

Mediante el deslizador puedes cambiar la longitud del segmento, si pulsas sobre el puntos D y lo arrastras recorriendo la mediatriz m comprobaras que las distancias a los dos extremos del segmento AB se van modificando pero permanecen iguales (propiedad en que nos basaremos para la definición de más abajo) y cuando coincide con el punto medio M, su suma es la longitud del segmento.

Otra definición de mediatriz como lugar geométrico (conjunto de puntos que cumplen una/s determinada/s propiedad/es) es:

Mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos del segmento.

Basándote en esta definición puedes trazar la mediatriz de un segmento siguiendo el procedimiento:

(i) En el mismo archivo dibuja en otra parte un segmento CD y etiqueta sus extremos.

(ii) Traza una circunferencia con centro en C y que pasa por el otro extremo D.

(iii) Traza otra circunferencia con centro en D y que pase por C.

(iv) Traza la recta (m) que pasa por los puntos de intersección de ambas circunferencias y esa el la mediatriz del segmento CD.

Comprobémoslo:

- Elige un punto P de la mediatriz y mide la distancia hasta ambos extremos del segmento CD y comprueba que es la misma.

- Si seleccionas el punto con el puntero y los desplazas por la mediatriz comprobarás como las medidas van cambiando pero permanecen iguales entre sí, todos los puntos de la mediatriz ostentan la propiedad de equidistar de los extremos del segmento en que se ha trazado.

Guarda este archivo con tu nombre y Mediatrices para enviarlo después a tu profesor por correo electrónco o subirlo a tu carpeta correpondiente.

Geogebra dispone de una herramienta que se llama [Mediatriz] y que nos permite trazarla directamente sin más que activarla y señalar los extremos del segmento o el lado del polígono. Es la herramienta que vamos a usar en Geogebra para trazar las mediatrices de un triángulo :

(i) Dibuja un triángulo acutángulo ABC y etiqueta su vértices.

(ii) Activa la herramienta [Mediatriz] y traza las tres mediatrices de sus lados (m1, m2, m3).

(iii) El punto intersección de las tres mediatrices equidista de los extremos de los segmentos que forman los lados del triángulo, al ser mediatrices de ellos, y por tanto se puede trazar una circunferencia con centro en ese punto y que pase por los tres vértices, es decir que circunscriba al triángulo, por eso al punto se le llama Circuncentro, mide las distancias del circuncentro a los vértices y traza la circunferencia circunscrita.

(iv) Selecciona uno de los vértices del triángulo, desplázalo y observa como se modifican las medidas realizadas y que la circunferencia siempre pasa por los tres vértices del triángulo.

Hemos activado la traza del circuncentro para que observes (y deduzcas para luego rellenar el siguiente cuestionario) lo que sucede al mover cada uno de los vértices.

Guarda el archivo con el nombre Mediatrices1.

Realiza el Cuestionario Nº 7.

Trazar las mediatrices en un triángulo de papel (acutángulo o rectángulo) es muy sencillo, doblamos el triángulo de manera que coincidan dos vértices y el doblez será la mediatriz, en la imagen siguiente moviendo los deslizadores se simula el procedimiento: