Patrones basados en el triángulo de Pascal

Patrones en el triángulo de Pascal

No vamos a repasar aquí las propiedades (que son muchas) del triángulo de Pascal, vamos a estudiar el triángulo en relación a los patrones que pueden formarse.

Si a cada número le hacemos corresponder un cuadrado y marcamos con un color los números pares y con otro los impares obtenemos el patrón:

$Triángulo de pascal y fractal de Sierpinski (mod2)$

!Que es un fractal deSierpinski!

Ahora nos preguntamos ¿y si coloreamos los múltiplos de 3, 0 (módulo 3) de un color y el resto de otro?, obtenemos este patrón fractal:

$Triángulo de pascal y fractal de Sierpinski (mod3)$

Si hacemos lo mismo con los divisores de 4,5, etc., tenemos:

$Triángulo de pascal y fractal de Sierpinski (mod4)$

Patrón de tipo Sierpinski a partir del triángulo dePascal, divisores de 4.

$Triángulo de pascal y fractal de Sierpinski (mod5)$

Patrón de tipo Sierpinski formado al colorear, en el triángulo de Pascal, los divisores de 5

$Triángulo de pascal y fractal de Sierpinski (mod6)$

Patrón de tipo Sierpinski formado al colorear, en el triángulo de Pascal, los divisores de 6.

$Triángulo de pascal y fractal de Sierpinski (mod7)$

Patrón de tipo Sierpinski formado al colorear, en el triángulo de Pascal, los divisores de 7.

Patrón de tipo Sierpinski formado al colorear, en el triángulo de Pascal, los divisores de 8.

Patrón de tipo Sierpinski formado al colorear, en el triángulo de Pascal, los divisores de 9.

Patrón de tipo Sierpinski formado al colorear, en el triángulo de Pascal, los divisores de 10.

Fractal de Sierpinski, triángulo de Pascal módulo 11

Patrón de tipo Sierpinski formado al colorear, en el triángulo de Pascal, los divisores de 11

Patrón de Sierpinski, triangulo de Pascal módulo 12 .

Patrón de tipo Sierpinski formado al colorear, en el triángulo de Pascal, los divisores de 12.

Fractal Sierpinski, triangulo Pascal divisores de 13.

Patrón de tipo Sierpinski formado al colorear, en el triángulo de Pascal, los divisores de 13.

Patrón de tipo Sierpinski formado al colorear, en el triángulo de Pascal, los divisores de 14.

Fractal de sierpinski, triangulo de Pascal, módulo 15

Patrón de tipo Sierpinski formado al colorear, en el triángulo de Pascal, los divisores de 15.

Patrón de Sierpinski, triángulo de Pascal, módulo 16

Patrón de tipo Sierpinski formado al colorear, en el triángulo de Pascal, los divisores de 16.

Patrón de Sierpinki, triángulo de Pascal módulo 17.

Patrón de tipo Sierpinski formado al colorear, en el triángulo de Pascal, los divisores de 17.

Patrón de Sierpinski, triángulo Pascal módulo 18

Patrón de tipo Sierpinski formado al colorear, en el triángulo de Pascal, los divisores de 18.

Factal Sierpinski, triangulo de pascal módulo 19

Patrón de tipo Sierpinski formado al colorear, en el triángulo de Pascal, los divisores de 19.

Patrón de Sierpinski en triángulo de pascal módulo 20

Patrón de tipo Sierpinski formado al colorear, en el triángulo de Pascal, los divisores de 20.

Patrón de Sierpinski en triángulo de Pascal módulo 21

Patrón de tipo Sierpinski formado al colorear, en el triángulo de Pascal, los divisores de 21.

Patrón de Sierpinski en triángulo de Pascal módulo 22

Patrón de tipo Sierpinski formado al colorear, en el triángulo de Pascal, los divisores de 22.

Fractal de Sierpinski en triángulo de Pascal módulo 23

Patrón de tipo Sierpinski formado al colorear, en el triángulo de Pascal, los divisores de 23.

Observa que los patrones más sencillos se corresponden con los obtenidos con los números primos.

Ahora nos preguntamos ¿seguirá un patrón el triángulo de Pascal al colorear cada resto de distinto color?, es decir para los divisores de tres, por empezar por algo sencillo, coloreamos los números que son exactos al dividir los números que forman el triángulo de Pascal por tres, 0 (módulo 3), de otro los que dan de resto uno al dividirlos por tres, 1 (módulo 3) y de otro si al dividir por tres dan de resto 2, 2 (módulo 3):


Amarillo= 0 (módulo 3), azul = 1 (módulo 3), rojo = 2 (módulo 3)	Amarillo= 0 (módulo 4), azul = 1 (módulo 4), rojo = 2 (módulo 4) y verde = 3 (módulo 4).

Podemos dar un paso más y preguntarnos qué pasaría si cambiamos la regla de construción del triángulo de Pascal antes de colorear, a los extremos de cada fila los mantenemos en la unidad pero los valores intermedios en vez de con a_ij = a_(i-1)(j-1) + a_(i-1)jlos calculamos con la diferencia a_ij = a_(i-1)(j-1) + a_(i-1)j, ¿seguirán un patrón?, veámoslo:


El patrón para los divisores de 2 no ha cambiado	Pero al colorear los divisores de 3 sí cambia el patrón


Patrón de Sierpinski sobre el triángulo de Pascal módulo 4.	Patrón de Sierpinski sobre el triángulo de Pascal módulo 5.


Patrón de Sierpinski sobre el triángulo de Pascal módulo 6.	Patrón de Sierpinski sobre el triángulo de Pascal módulo 7.

Y para terminar de demostrar la conjetura un último ejemplo con módulo 11.

Ahora modificamos de nuevo la regla de formación : a_ij = a_(i-1)(j-1) + 2a_(i-1)jy dibujamos:


Patrón de Sierpinski módulo 3.	Patrón de Sierpinski módulo 5.

¿Porqué no hemos dibujado los módulos pares?.

Para terminar sólo indicar que al ser triángulos, se les puede unir para teselar el plano con estos patrones: